<

Бесконечность и сущность одномерного континуума

Просмотров: 332

Введение

В современном знании бесконечность и одномерный континуум предстают в двух ипостасях – в ипостаси единого и ипостаси многого. В ипостаси единого одномерный континуум не имеет четкого и ясного определения. Мы здесь даем ему следующую дефиницию: одномерный континуум – это слитые воедино и неразличимые все одномерные пространственные отношения до всякого их знания, познания и структурирования. Эйдосом, образом, ликом непознанного и неструктурированного континуума является бесконечная в обе стороны геометрическая прямая. Такое определение континуума есть его определение как в духе аристотелевской непрерывной сущности1, так и в духе единого Николая Кузанского2. В ипостаси многого одномерный континуум – это числовая ось, или множество всех точек прямой3.

Ипостаси континуума имплицируют и соответствующие ипостаси бесконечности. Так, бесконечность в ипостаси единого – это бесконечность одномерного континуума как единого. Бесконечность же в ипостаси многого – это не только бесконечность множества точек на числовой оси, но и характеристика любого бесконечного множества, другими словами, это теоретико-множественная бесконечность.

Различение двух ипостасей бесконечности имеет первостепенное значение в настоящей работе для снятия противоречий в представлениях как о бесконечном, так и об одномерном континууме. Работа является рефлексией4 над уже имеющимся знанием и представляет собой введение в аритмологию, которая по Лосеву5 есть теоретико-множественное учение о Бытии и Сущем. В ней дается полное и непротиворечивое описание бесконечности и сущности одномерного континуума. Начинается работа с констатации противоречий в нашем знании о едином и многом, конечном и бесконечном, прерывном и непрерывном. Затем, изучая бесконечную сущность одномерного континуума, решаются проблемы единого-многого, конечного-бесконечного, после чего познается глубинная, до-величинная, сущность континуума. В результате познанный континуум предстает перед нами в виде одномерного универсума. Все изучение опирается в основном на знания, достигнутые в этой области отечественной философией естествознания, а также на идеи русской философии о «Всеедином Сущем» Соловьева, «Всеединстве» Франка и «Самое Само» Лосева. Результаты исследований достаточно полно представлены в монографии автора6.

О концептуальных противоречиях в современных представлениях о бесконечности, континууме и множествах можно узнать из работ, посвященных этой теме7. Можно выделить четыре большие группы противоречий: 1) противоречия в представлениях о бесконечности; 2) противоречия в представлениях о континууме в ипостаси единого; 3) противоречия в представлениях о континууме в ипостаси многого, или, что то же самое, противоречия в теории действительных чисел; 4) теоретико-множественные противоречия. Констатируя противоречия, мы тем самым дадим и современное состояние проблем единого-многого, конечного-бесконечного, прерывного-непрерывного.

В представлениях о бесконечном и бесконечности можно выделить два основных концептуальных противоречия: первое – это полная неопределенность бесконечности в ипостаси единого и ее неопределенность в ипостаси многого; второе – это смешение бесконечностей единого и многого. Классикой являются следующие свойства бесконечности ∞: ∞+а=∞ (а≠–∞), –∞+а=–∞ (а≠+∞), ±∞×а=±∞ (а>0).8 они означают, что сколько бы бесконечностей ∞ мы ни складывали друг с другом и сколько бы раз ни умножали бесконечность ∞ саму на себя, она от этого никак не изменится. символами ±∞ в математике и естествознании обозначают любые бесконечные числа и величины. Эти свойства бесконечности находятся в явном противоречии с принципом классической логики «часть не может быть равна целому». По этой причине бесконечность континуума больше подобна неопределенности, чем какой-либо теоретико-познавательной сущности. В неопределенности нет различения, а потому нет и знания. В теоретико-множественной бесконечности, с одной стороны, есть различение в виде иерархии алефов, или бесконечных кардиналовК0, К1, К2, …, а с другой стороны, – каждый кардинал К является неопределенным в том же смысле, что и бесконечность единого ∞. Неопределенность бесконечности порождает парадоксы с расходящимися рядами9. Смешение бесконечностей единого и многого выражается в том, что для указания бесконечного возрастания и непрерывных величин, и числовых последовательностей используют один и тот же символ бесконечности ∞.10 в результате в один узел сплетаются, по крайней мере, еще три концептуальных противоречия: 1) с одной стороны, две совершенно различные сущности – непрерывная величина x и прерывная числовая последовательность n устремлены к одному и тому же неопределенному бесконечному пределу ∞, с другой стороны известно, что пределом числовой последовательности, или, что то же самое, натурального ряда n=1,2,… является начальное бесконечное число ω – спрашивается – к чему на самом деле устремлены сущности x и n? 2) умалчивается или не замечается факт превращения потенциальной бесконечности n=>∞ или x=>∞ в актуальную бесконечность n=∞ или x=∞. Это превращение оформляется и актуализируется равенствами p=limxn=x и p=limf(x=>∞)=f(∞), несмотря ни на какие известные на сей счет разъяснения11, так как если это не так, то строго логически вместо равенств надо было бы говорить об иных по смыслу отношениях p=>x и p=>f(∞); 3) поскольку нас интересует глубинный смысл континуума и бесконечности, постольку мы должны знать – как успевают две существенно разные сущности x и n пробежать за одно и то же время соответственно множество мощности континуума ω1=2ω и счетное множество мощности ω?12=>∞

В представлениях об одномерном континууме в ипостаси единого имеет место фундаментальный изъян – в них нет знания о глубинной сущности континуума – о точке и ее связи с континуумом. Со времен Аристотеля в этом вопросе ничего не изменилось, не считая того, что для континуума придумали иную ипостась – ипостась многого, в которой континуум определяется как множество. Обсуждение континуума в аспекте единого можно найти в основном в философской и естественнонаучной литературе.13 Положение вещей в знании об одномерном континууме в ипостаси единого согласно Аристотелю является следующим. Во-первых, континуум можно делить на части, части тоже делимы на части и так до бесконечности. Во-вторых, деление континуума производят точки. В-третьих, континуум не состоит из точек. Точки – это не имеющие частей неделимые сущности. Две соседние части континуума соприкасаются точками разделения на эти части. Точки соприкасаются целиком своими сущностями. Что здесь не ясно? Первое – это то, что соприкасающиеся целиком точки есть не что иное как одна и та же точка, вследствие чего при делении континуума на части каждая точка деления должна отходить и к одной части, и к другой части. Как это может быть физически и метафизически, то есть сущностно? Не ясно. Вследствие этого подобное положение вещей не мешает говорить о бесконечном количестве экземпляров любой точки деления. Второе – как непосредственно и с какой сущностью континуума связана точка, есть ли у точки соседние точки, с которыми данная точка не соприкасается, и что эти точки разделяет? Очевидно, что именно эти вопросы заставили придумать вторую ипостась континуума – множественную ипостась. Но там – другие противоречия.

Противоречия множественной ипостаси континуума – это то же самое, что и противоречия числовой оси и теории действительных чисел. На первом месте здесь находится противоречащее классической логике определение бесконечности и бесконечного множества по Дедекинду, идея которого восходит к Н. Кузанскому.14 Нечто, в том числе и множество, является бесконечным, если оно имеет собственную часть, эквивалентную или равную самому нечто. Вторым противоречием является сечение Дедекинда15, определяющее действительные числа и эквивалентное другим их определениям. Если точка в случае континуума в ипостаси единого, по Аристотелю, разбивая континуум на две части, отходит к обеим частям, становясь их краями, то при разбиении числовой оси с помощью сечения Дедекинда на две части оказывается, что только одна из частей будет иметь крайнюю точку, а другая не будет. Сечение Дедекинда таким образом снимает противоречие точки по Аристотелю, связанное с мультиплицированием экземпляров одной и той же точки, но оставляет непознанной и непознаваемой глубинную сущность континуума. Поскольку континуум в ипостаси многого как числовая ось – это упорядоченное множество точек, которые являются последней глубинной сущностью континуума, то получается следующая противоречивая картина. непосредственно из определения сечения Дедекинда следует, что никакая точка не имеет соседних с собой точек, то есть таких, между которыми уже нет точек, что делает принципиально невозможным какое бы то ни было непрерывное движение на континууме, так как из любой точки некуда двигаться (нет соседних точек).

Известно также, что множество действительных чисел является плотным16, то есть таким, в котором между любыми сколь угодно близкими точками содержится столько же точек, сколько их во всем континууме17. это порождает противоречия. Во-первых, в пределе оно означает не что иное, как только то, что ничто есть все, а во-вторых, – не ясно – как в одном случае (между двумя точками) можно пройти за конечное время несчетное множество точек, а в другом случае (весь континуум) нельзя пройти такое же несчетное множество точек, так как если допустить, что можно, то тогда нужно будет считать абсолютно бесконечный континуум конечным.

Следующее противоречие связано с представлением действительных чисел в позиционной системе счисления. Любое действительное число, как известно, имеет такую запись, слева от запятой в которой располагаются разряды целой части, а справа – разряды дробной части. Противоречие обусловлено тем, что дробная часть числа имеет бесконечное счетное количество разрядов, а целая часть – «однозначно определенное натуральное число»18, то есть конечное количество разрядов. Это приводит к тому, что не все числа будут иметь обратные себе значения в множестве действительных чисел, вследствие чего утверждение современной математики19 о том, что множество действительных чисел является полем (в поле каждое число имеет обратное себе число, а при неодинаковых количествах разрядов у целой и дробной частей числа это, естественно, не выполняется), надо признать неверным и противоречивым.

В противоречии с классической логикой находятся и такие положения теории действительных чисел, как «любой отрезок прямой эквивалентен всей прямой», «прямая эквивалентна плоскости», «существуют числа, имеющие не одно, а два различных значения, считающихся равными: х10…0,0…0=х01…1,1…1 и х,х…х10…0=х,х…х01…1″ (имеется ввиду двоичная запись). противоречивым является и понятие полуинтервала (a,b] или [a,b), поскольку из его определения следует (a,a]=неa&a.20

Главными и основными концептуальными противоречиями теории множеств являются: первое – все тот же принцип «часть может быть равна целому»; второе – соглашение, или положение о том, что «нечто или множество может быть своим элементом»; третье – определение начальной актуальной бесконечности. На первом принципе основывается аксиома бесконечности Дедекинда и определение бесконечного множества: множество является бесконечным, если оно имеет собственное подмножество, равное, или эквивалентное всему множеству. К бесконечному множеству можно добавлять любое количество новых элементов, но от этого его мощность не изменится. соответственно трансфинитная арифметика существенно отличается от обычной арифметики – в ней действуют совершенно иные правила выполнения операций. Есть еще арифметика над кардинальными числами, или мощностями. Аксиома Дедекинда не позволяет на самом деле доказать утверждение о том, что действительных чисел больше, чем натуральных чисел. Соглашение о том, что «нечто может быть своим элементом» влечет за собой парадоксы Рассела, Кантора и другие им подобные парадоксы21. В них обыгрываются высказывания «множество является элементом самого себя» и «множество не является элементом самого себя», относительно каждого из которых допускается возможность быть истинным или ложным. Противоречивый характер определения начальной актуальной бесконечности обусловлен следующим. Во-первых, она есть счетное множество, во-вторых, счетное множество – это множество натуральных чисел и, в-третьих, – это множество всех конечных чисел. Согласно классической логике любое множество конечных чисел вида 1,2,…,n является конечным и содержит такое количество элементов (чисел), которое равно значению последнего, наибольшего числа. Так как мы придерживаемся законов классической логики, то начальное бесконечное множество должно содержать хотя бы одно бесконечное число.

Заканчивая обзор противоречий в знании о бесконечном, необходимо сказать о самом главном его заблуждении, имеющем фундаментальный гносеологический характер. Общепризнанной является парадигма, согласно которой в бесконечном действуют логические законы, отличные от законов классической логики конечного, и что причиной противоречий в знании о бесконечном является применение законов классической логики. На самом деле это не такпротиворечия в знании о бесконечном возникают из-за нарушения и отказа от этих законов!

В свое время противоречия и парадоксы бесконечности и теории множеств обсуждались у нас весьма интенсивно22. В результате этих обсуждений, хотя и имело место углубление наших знаний о бесконечном, однако решение проблем единого-многого, конечного-бесконечного найдено не было. Автор этих строк в течение многих лет изучал эти проблемы и, как ему кажется, нашел их решение, которое дается здесь в аспекте одномерного континуума.

Изучение бесконечности и сущности одномерного континуума базируется на следующих методологических принципах. Первое: строгое соблюдение законов и принципов классической логики как в конечном, так и в бесконечном. Второе: следование принципу Анаксагора «все – во всем» или «только всего следует все». третье: исходными, первичными основаниями знания являются онтологические основания. Для нас исходным является одно-единственное онтологическое основание, а именно – единое, репрезентируемое нам одномерным континуумом до всякого его знания, познания и структурирования.

Единое-многое, конечное-бесконечное.

Что значит знать, познать и структурировать? Это значит различать, отделять одно от другого. Различать и отделять можно только в ином и иным. У нас есть континуум до всякого познания, и он есть слитые воедино и неразличимые все (посылка Анаксагора) одномерные пространственные отношения. Поскольку у нас еще нет никакого знания, в том числе и никакой философии, постольку мы еще не знаем не только многое, но и что такое отдельное, одно, число, точка, длина и проч. У нас есть только такое знание, которое Лосев называл экстатическим, или экстазом,23при котором субъект слит с континуумом. Континуум есть не только та первосущность, которую мы намереваемся познать, но и мера последующего знания о ней, что вытекает из принципа Анаксагора и находится в русле идей Н. Кузанского о бесконечном как об исходной мере познания24. Поэтому непознанный континуум как единое и все одномерные пространственные отношения мы отождествляем с онтологической, абсолютной, континуальной бесконечностью, обозначаемой известным символом . Последнее очень важно. Весьма неопределенный символ ∞ становится вполне определенным атрибутом и всеобщей мерой такого бытия, как континуум.

Начиная познание континуума, мы выходим из него, отделяемся от него как его иное, в результате чего он для нас становится как отдельное, одно, как эйдос бесконечной в обе стороны прямойx. С одной стороны, это позволяет говорить о начальной множественности X0={x} и о начальном эйдетическом числе X0=1 (согласно Лосеву25 эйдетическое число – это характеристика структурированной сущности как схемы и многого). с другой стороны, появляется возможность говорить еще об одном, втором и последнем, онтологическом основании познания, а именно – оботношении континуумов. Относиться континуумы x и x1 между собой могут в двух аспектах: либо тождественно совпадать друг с другом, либо пересекаться. В первом случае мы говорим об отношении сравнения и измерения континуумов, порождающем начальное арифметическое число26 1=x/x1=∞/∞ и начальное множество N0={1}=1. Второй случай – пересечение континуумов – это континуальное сечение, или просто сечение. А. Пуанкаре говорил: «на сечении все основано»27. Поэтому сечение есть фундаментальное отношение. Оно является нульмерным континуумом. Это точка, но точка, отличная от известной нам точки.

Мы хотя и идем в познании континуума от его незнания к знанию, но идем, все-таки, погруженными в уже имеющееся знание, корректируя его и снимая имеющиеся в нем противоречия. Поэтому о точке мы можем сказать то же, что и о плоскости как сечении28. Как и плоскость, точка имеет две стороны, находящиеся в неразрывном единстве. В таком же неразрывном единстве находится и прямая, разбитая точкой на две части. Разъединение этих частей является абстракцией, условным. оно проходит по единству точки, в результате чего правая сторона сечения-точки «отходит» к правой части континуума, а левая сторона – к левой части континуума.

Континуальное сечение отличается и от точки Аристотеля, и от сечения Дедекинда и свободно от присущих им противоречий. Точка Аристотеля неделима, не имеет частей и неопределенна. При разбиении континуума она отходит и к левой части континуума, и к правой части и превращается таким образом в два своих экземпляра, а если через эту точку проходит еще одна прямая, то эта точка отходит еще и к двум частям этой прямой, увеличивая число своих экземпляров до четырех. Континуальное сечение является неделимым, но имеет стороны, которые «отходят» к различным частям континуума и которые не только неделимы, но и не имеют частей. При сравнении с сечением Дедекинда, определяющим на континууме действительное число, которое отходит только к одной части, задавая строго и четко границу только этой части и оставляя другую часть без принадлежащей ей границы, континуальное сечение, как и точка Аристотеля, но только без противоречий, устанавливает вполне определенные границы обеих частей континуума.

Современное знание сначала постулирует множественную ипостась континуума, а затем порождает проблему единого-многого. Здесь же многое не постулируется, а обнаруживается путем познания единого с помощью межконтинуального отношения. Это позволяет избежать противоречий в проблеме единого-многого. Сечение разбивает континуум на две полубесконечные части – левую x и правую x+, имеющие меру Е1=x±=∞/2. Оно дает нам первое разбиение континуума X1={x,x+}={E11,E12} и его эйдетическое число 2. затем мы получаем арифметическое число 2=∞/E1 и первое множество N1={1,2}=2. Как видим, сечение является онтологическим основанием многого, множественности.

Дальше, пользуясь знанием о теоретико-множественном отношении «множество всех подмножеств 2M множества M«, легко получить все конечное знание о континууме. у нас уже есть два начальных множества чисел N0=1=20 и N1=2=2N(0), где N(0)=N0. остальные конечные множества получаются автоматически: N2=2N(1)=4={1,2,3,4}, …, Nn=2N(n–1)={1,2,3,…,nn=2n(n–1)},… здесь и дальше индекс часто будет писаться как аргумент, т.е. Ni как N(i), ni как n(i). Каждому множеству Nn отвечает разбиение континуума Xn на nn единичных (единичных в смысле единицы измерения) частей En=∞/nn: оно есть отношение континуума x к единичному отрезку En, Xn=x/En={En,En,…,Ennn}.)(,21

На языке современной теории множеств наибольшего конечного множества не существует. Там постулируется существование множества всех конечных чисел как начального бесконечного множества. Нами показано, что такое определение начальной бесконечности является фундаментальным противоречием29. Надо говорить о предельном конечном множестве N как о множестве всех конечных чисел, которому отвечает и соответствующее предельное конечное разбиение континуума X. Эти предельные сущности являются рефлексивными сущностями и рефлексивными в том смысле, что описание их имени-индекса представляет собой самоописание. Обозначаются они через Nref и Xref.30 Рефлексивное множество Nref и рефлексивное разбиение континуума Xrefявляются обобщенными сущностями и описывают не только собственно предельные сущности N и X, но и все сущности, лежащие за невероятно большими сущностями Nη и Xη, то есть Nη,Xη,Nη,Xη, …, N,X.+2+2+1+1(η)(η)(η)(η)

Содержание и смысл конечного знания о континууме можно сформулировать следующим образом. 1) Смысл континуума и его бесконечности до их познания состоит в том, что нельзя ни «выглянуть» из них, ни «заглянуть» за них. 2) Началом познания континуума является отделение субъекта как иного от континуума, в результате чего последний предстает для иного как отдельное, одно, как эйдетическое число 1. Эйдосом, образом и ликом такого континуума является бесконечная в обе стороны прямая, которую нельзя видеть всю целиком. Ее бесконечность есть абсолютная бесконечность ∞ как всеобщая мера знания единого. 3) Континуум как отдельное позволяет говорить об отношении континуумов – об измерении и сечении. Оно есть второе и последнее онтологическое основание многого. 4) Сечение – это нульмерный континуум, все нульмерные пространственные отношения, точка. Поскольку континуум – это все одномерные пространственные отношения, то он и не состоит из точек. 5) Многое имеет две ипостаси. Одна ипостась – это конечные разбиения континуума на абсолютно бесконечные единичные части, а вторая – это конечные множества конечных арифметических чисел (Лосев). Количественные характеристики разбиений континуума называются эйдетическими числами (Лосев), а множеств –кардинальными числами (Кантор). 6) Отрезки конечных разбиений являются почти такими же абсолютно бесконечными, как и сам континуум, – из них нельзя «выглянуть» и их нельзя видеть целиком. На любом конечном разбиении континуума нельзя видеть больше одного сечения. 7) Непостижимо большие, или рефлексивно большие, конечные множества и разбиения составляют почти всю конечную множественную сущность. остальные конечные множества и разбиения составляют ничтожную ее часть. Поэтому можно сказать, что в явном виде мы почти не знаем множественную сущность континуума.

Чтобы получить новое знание о континууме, на нем надо сделать не одно, а два сечения, которые вместе с заключенным между ними отрезком будут видимыми вместе и целиком. Полученный таким образом отрезок, как известно, является конечным отрезком. Его мы называем единичным отрезком e. Нетрудно заметить, что если мы возьмем отношение бесконечного континуума x=∞ к единичному отрезку e, то получим некоторое бесконечное число, которое нам покажет – сколько отрезков e содержится во всем континууме. Вот это отношение ∞/e и есть начальная теоретико-множественная бесконечность ω. Это – актуальная бесконечность. Она имеет три ипостаси своей сущности. Первой ипостасью является начальное бесконечное разбиение континуума на ω единичных отрезков e – X={e01,e02,…,e}, второй – начальное бесконечное (арифметическое) число ω=∞/e, третьей – начальное бесконечное множество арифметических чисел К={1,2,…,ω}.

Сущность данного бесконечного знания заключается в следующем. В аспекте единого-многого отношение ∞/e является таким же фундаментальным, как и отношение сечения. Сечение является онтологическим началом знания о конечной множественности, отношение же ∞/eонтологическим началом знания о бесконечной множественности. Оба они раскрывают сущность связи единого и многого. Кроме этого, эйдос разбиения X является таким, что на нем можно видеть, вообще говоря, любое конечное количество единичных отрезков. Важно также подчеркнутьсущественное отличие множества арифметических чисел от известного множества натуральных чисел. Натуральные числа получают путем неограниченного прибавления единицы (из-за этого натуральный ряд называют еще дурной бесконечностью): 1, 2=1+1, 3=2+1, …, n=(n–1)+1, …, арифметические же числа суть отношения различных частей разбиения континуума к его единичному отрезку. Отношения i=(i–1)+1 являются отношениями соседства арифметических чисел – любые два соседних числа, независимо от того – конечные они или бесконечные, находятся в этом отношении. Поэтому у нас все множества и разбиения являются актуальными и эйдетическими, а не потенциальными.

Мы знаем31, что между множествами существуют не только теоретико-множественные отношения типа «множество всех подмножеств 2M«, но и информационно-субстратные отношения типа «количество информации в множестве M» и «субстрат множества M» – log2M. Отношения 2M порождают из начальной бесконечности К восходящую иерархию больших бесконечных множеств (кардиналов, кардинальных чисел) К1, К2, …, Кi=2К(i–1), …, К+, а отношения log2M – нисходящую иерархию малых бесконечных субстрат-множеств (кардиналов, кардинальных чисел) К–1, К–2, …, Кj=log2К–(j–1), …, К. Элементами этих множеств являются конечные и бесконечные арифметические числа: Кi={1,2,…,ωi}, Кj={1,2,…,ωj}. Каждое новое бесконечное множество порождает и новое бесконечное разбиение. Так, разбиения Xi и Xj являются отношениями между континуумом x и кардинальными числами Кi и Кj:  Xi=x/Кi={ei,ei,…,ei; ei=∞/ωi},  Xj=x/Кj={ej1,ej2,…,ej,ω(–j); ej=∞/ωj}. По отношению к конечному единичному отрезку e единичные отрезки ei больших бесконечных разбиений Xi являются бесконечно малыми величинами, а единичные отрезки ej малых бесконечных разбиений Xj – бесконечно большими величинами. Однако, по отношению к бесконечному континууму и к единичным отрезкам En его конечных разбиений единичные отрезки всех бесконечных разбиений Xi и Xj являются бесконечно малыми величинами.,ω(i)21

Если посмотреть на любое большое бесконечное разбиение континуума, то на нем можно увидеть только отдельные сечения, но ни при каком сечении нельзя увидеть соседние с ним сечения, соответственно нельзя увидеть и любой бесконечно малый единичный отрезок. Но если посмотреть на любое сечение через микроскоп с бесконечно большим увеличением, как это делает В.А. Успенский при изучении гипердействительных чисел32, то можно увидеть и соседние сечения, и еще много других до этого невидимых сечений, другими словами, мы увидим бесконечно малые отрезки.

Совсем иначе обстоит дело в случае малых бесконечных разбиений. Как и при конечных разбиениях, на континууме здесь нельзя видеть больше одного сечения и нельзя видеть никакой бесконечный отрезок целиком и полностью. Но можно говорить о бесконечно малом масштабе изображения континуума, или о взгляде на него через мегаскоп с бесконечно большим уменьшением. Тогда на малом бесконечном разбиении континуума можно увидеть любое конечное число бесконечных отрезков ej. При этом мы не будем видеть ни конечных отрезков e, ни меньших бесконечных отрезков e–(j–1). Как видим, изучение множественной сущности континуума дает нам новое и интересное знание33.

Для предельно больших бесконечных множеств К+ важно знать значения индексов, поскольку только при их знании можно установить связь величинной сущности континуума с его глубинной сущностью. Описание кардиналов К+ мало чем отличается от описания предельных конечных множеств. Как там, так и здесь это описание является рефлексивным, то есть самоописанием. Проводя совершенно аналогичные рассуждения тем, что проводились для рефлексивных конечных множеств Nref, можно получить описание рефлексивных индексов и для множеств К+=Кref.34Рефлексивно большие бесконечные разбиения континуума Xref столь непостижимо бесконечны, что их единичные отрезки eref=∞/ωref становятся столь непостижимо бесконечно малыми, что наводят на мысль об иной, по отношению к величинной, сущности и заставляют нас заняться изучением до-величинной сущности континуума, являющейся его глубинной сущностью.(Ω)(Ω)(Ω)(Ω)(η)

Связь конечного с бесконечным, единого и многого имеет два аспекта. Один аспект является онтологическим, другой – теоретико-множественным. В онтологическом аспекте мы эту связь установили с помощью отношения континуума x=∞ к его единичному отрезку e, в результате чего была получена начальная актуальная бесконечность в трех своих ипостасях. Теоретико-множественный аспект подразумевает установление непосредственной связи конечных сущностей – чисел, множеств и разбиений с соответствующими бесконечными сущностями. Поскольку конечные сущности мы уже познали и описали, то для установления этой связи нам осталось познать малые бесконечные множества и разбиения, а конкретно – нам осталось описать имена-индексы предельно малых бесконечных сущностей К и X нисходящей иерархии.

Поведение, или закон изменения этих имен-индексов является достаточно интересным. С одной стороны, с точки зрения начальной актуальной бесконечности ω как меры познания малых бесконечных множеств их индексы j, хотя и являются бесконечными, но остаются весьма малыми по отношению к мере ω. Причем, в аспекте этой меры мы не можем определить индексы предельно малых бесконечных множеств. Мы можем только констатировать, что они не могут быть конечными, поскольку все малые бесконечные множества Кn с конечными индексами не являются предельными. Поэтому эти индексы являются бесконечными. Однако они не могут быть и достаточно большими, например, равными ω или ωn, поскольку при этих значениях индексов мы вообще выйдем за пределы всякой сущности. Это становится очевидным, если посмотреть на нисходящую иерархию с другой стороны – со стороны иной меры, а именно – с точки зрения предельно малой бесконечности ω или К как меры познания малых бесконечных множеств. В этом случае начальная бесконечность К относительно предельно малой бесконечности К будет такой же непостижимо далекой, как и непостижимо большая бесконечность К+=Кref относительно начальной бесконечности К. Такой взгляд на малые бесконечные множества есть их представление в виде восходящей иерархии (К), (К)1, (К)2, …, (К)j, … с тем же набором имен-индексов, что и у нисходящей иерархии, но только в обратном порядке35. В результате малые бесконечные множества будут иметь два эквивалентных описания:(Ω)

малые (К),(К)1,(К)2,…,(К)j,…………………….,(К)γ,(К)ref  большие;(γ)

малые  Кref(γ),Кγ, ………………………, Кj, …, К–2, К–1, К большие.

За символами (К)ref и Кref(γ) скрывается основная масса малых бесконечных множеств. Остальные множества составляют ничтожную, хотя и бесконечную, часть множеств.(γ)

Если воспользоваться вперемежку обеими формами записи, то все малые бесконечные множества можно разбить на три вполне определенных группы или класса:

– класс малых бесконечных множеств, включающий начальное бесконечное множество К: К, К–1, К–2, …, Кj, …, Кγ; это самые большие малые бесконечные множества;

– класс непостижимо бесконечно малых бесконечных множеств, включающий предельно малое бесконечное множество (К): (К)γ, …, (К)j, …, (К)2, (К)1, (К); это самые малые бесконечные множества;

– класс бесконечно малых бесконечных множеств; это средний класс; он является пересечением /\\, или общей частью, рефлексивных множеств восходящей и нисходящей иерархий: (К)ref/\\Кref(γ)=К–(γ+1),К–(γ+2),…,(К)γ,(К)γ.+1+2(γ)

С помощью этих классов все малые бесконечные множества можно представить в виде одного описания:

К, К–1, К–2, …, Кγ, К–(γ+1), …, (К)γ, (К)γ, …, (К)2, (К)1, (К).+1

В данной иерархии малых бесконечных множеств есть одно особое множество, для которого выполняется равенство Кrefi(s)=refi(s)={1,2,…,ωrefi(s)=refi(s)}. Данное равенство фиксирует факт совпадения рефлексивного числа ωrefi(s) со своим рефлексивным индексом refi(s). Числа ωrefi(s) и refi(s) – это детерминированные с помощью соответствующей дискретизации36 i-е рефлексивные числа. Интересно и важно подчеркнуть, что для обращенной иерархии такого множества не существует, то есть wrefirefi(s). Поскольку мы придерживаемся законов и принципов классической логики, то речь здесь идет о строгих равенствах и неравенствах, а не о тех размытых и основанных на принципе «часть может быть равна целому» отношениях типа Кα в современном математическом знании37. отношение ωrefi(s)=refi(s) объясняется просто. Поскольку ниспадающая иерархия множеств представляет собой совокупность уменьшающихся множеств, а индексы этих множеств – это возрастающая совокупность чисел, то должна быть «точка встречи» этих совокупностей, в которой число равно своему индексу.(s)

В знании о множественной сущности континуума остался один разрыв. Это разрыв между знанием конечных множеств и разбиений N и X и знанием бесконечных множеств и разбиений К и X. разрыв в знании не есть разрыв сущности. Поскольку вся бесконечная множественная сущность и вся конечная множественная сущность каждая в отдельности связана в единое теоретико-множественным отношением «множество всех подмножеств 2M» и информационно-субстратным отношением log2M, то и все конечные множества должны быть связаны с бесконечными множествами этими же отношениями. должна быть связь между рефлексивными конечными множествами и рефлексивно малыми бесконечными множествами и эта связь должна быть такой же, как и связь между всеми множествами, то есть она не должна быть исключением, поскольку у нас для этого нет никаких онтологических оснований. Следовательно, конечные и бесконечные множества связаны отношениями:

Кref(γ)=2N(ref(η)), Xref(γ)=2X(ref(η)) ;

Nref=log2Кref(γ), X ref=log2Xref(γ).(η)(η)

Они называются аксиомой конечного-бесконечного, а также соотношениями и гипотезой Кагота (Кагот – герой повествования чукотского писателя Юрия Рытхэу38. он искал числа, промежуточные между конечными и бесконечными числами, и считал, что тот, кто их найдет, будет счастлив и все узнает).

Предельное конечное число Nref называется конечным числом Кагота, а предельное наименьшее бесконечное число Кref(γ)бесконечным числом Кагота. Все промежуточные арифметические числа nref+1, nref+2, …, ωref(γ)–2, ωref(γ)–1 называются числами Кагота.(η)(η)(η)

Гипотезой Кагота мы фактически закончили познание одномерного континуума в аспекте единого-многого. Осталось показать отсутствие противоречий в этом знании.

Континуум не состоит из точек и не состоит постольку, поскольку континуум – это все одномерные пространственные отношения, а точка – это уже иная по отношению к одномерному континууму сущность, а именно, нульмерные отношения.

Что же тогда должно соответствовать «точке» в современном математическом знании? Такой «точкой» может быть бесконечно малый отрезок ei практически любого большого бесконечного разбиения Xi. только в этом случае можно говорить, что «прямая состоит из точек». Определив таким образом стандартную «точку» на континууме, можно тем самым говорить, что любая такая «точка» имеет соседние с собой левую и правую «точки», поскольку к любому отрезку ei,k на прямой слева и справа примыкают соседние отрезки ei,k и ei,k. Это верно и для чисел любого множества Кi.39+1–1

В результате вместо сечения Дедекинда мы получаем четкое, ясное и неразмытое определение сечения числовой оси на два класса. Это сечение есть континуальное сечение, и оно такое, что в левом классе есть наибольшее число l, а в правом классе есть наименьшее число l+1 и между ними нет никаких чисел. Само собой разумеется, что все эти числа есть не что иное как «точки-отрезки» соответствующего разбиения, или – «точки» современной числовой оси.

В стандартной системе действительных чисел, как мы знаем, дробная часть числа имеет счетно-бесконечное количество разрядов, а целая часть, будучи натуральным числом, имеет вполне определенное конечное количество разрядов40. мы определяем действительное число таким образом, что и целая, и дробная его части имеют одну и ту же счетно-бесконечную разрядность41. Этим самым снимается противоречие между утверждением о том, что множество действительных чисел является полем и тем, что не все дробные числа имеют обратные себе значения в множестве действительных чисел. Соответственно арифметика над бесконечными действительными числами и величинами имеет те же правила, что и арифметика над конечными числами. Это сокращает число исходных начал математического знания.

Нет у нас и противоречий, связанных с понятием полуинтервала (a,b], когда он «стягивается» в точку «a«42. В нашем случае «стягивание» дает вместо противоречия (a,a]=неa&a полуинтервал (a,a+D]=a+D.

Главный принцип классической логики, который нарушается в современном знании о бесконечном – это принцип «часть не может быть равна целому». Только при его соблюдении возможно непротиворечивое доказательство существования иерархии бесконечных множеств43. Строгое следование этому принципу снимает противоречия и с так называемыми расходящимися рядами44. Восстанавливается также истинное положение вещей относительно неэквивалентности континуума любой своей части, не говоря уже о том, что никакая часть множества неэквивалентна самому множеству. От этого наше знание становится точным и непротиворечивым.

Счетное множество, оно же – и множество натуральных чисел, и множество всех конечных чисел, не есть бесконечное, или трансфинитное, множество. Оно является конечным, финитным, множеством. В противном случае оно будет противоречивым45. Все множества и числа, получаемые путем применения арифметического отношения n+1 или теоретико-множественного отношения 2M к числам, начиная с единицы, являются конечными числами.

При соблюдении законов классической логики парадоксы типа парадокса Рассела на самом деле не могут иметь места. Говорят, что истинным может быть и отношение «множество M может быть своим элементом», и отношение «множество M не может быть своим элементом». разумеется, что аксиоматические теории не следует принимать во внимание, поскольку с помощью аксиом на любую теорию можно наложить любые ограничения. Поэтому отношения «Mесть элемент изM» и «Mне есть элемент изM» должны рассматриваться в свете онтологических оснований вне каких бы то ни было аксиом. Как некоторые фундаменталисты по теории множеств относятся к онтологическим и философским основаниям математики46 выражает известный афоризм Б. Рассела: «математика – это предмет, в котором мы не знаем, о чем говорим»(!?)47.

То, что отношение «Mне есть элемент изM» может быть истинным, а то и просто тождественно истинным, ясно каждому. Когда же речь заходит об отношении «Mесть элемент изM«, то приводят соответствующие примеры. Вот классический пример. Есть, говорят, такое понятие «множество всех множеств», или, что то же самое, «множество всех предложений», «множество всех высказываний» и т.д. Если мы возьмем любое из них, например, «множество всех предложений», то окажется, что оно подпадает под определение элемента множества всех предложений, поскольку понятие «множество всех предложений» само является предложением. Поэтому оно является элементом самого себя, или в обозначениях – «Mесть элемент изM«. Подобная интерпретация отношения «быть элементом» приводит к парадоксам, подобным парадоксу Рассела. И.Н. Бурова в своей работе48 обстоятельно и глубоко проанализировала эти парадоксы. Однако, основной причиной парадоксов она считает актуальную бесконечность49, что, как это мы выяснили, не так50. В частности, анализ парадокса «Лжец», присущего в своем чистом виде практически всем парадоксам, показывает, что при строгом соблюдении законов классической логики в высказывании «Лжец» нет никаких противоречий. Высказывания типа «множество всех множеств» являются самоприменимыми, или, как еще говорят, непредикативными. Его формализация без каких бы то ни было нарушений законов классической логики иллюстрируется известным описанием всех порядковых чисел pi={0,1,2,…,pi},51 что означает, что на самом деле есть отношение «Miесть элемент изMi«, а не «Mесть элемент изM«. Но чтобы закрыть вообще любой путь к парадоксам, подобным парадоксу Рассела, надо показать, что для существования отношения «быть элементом самого себя» нет не только логических, но и онтологических оснований. Это, в частности, спасет и известную схему свертывания от накладываемых на нее ограничений при образовании с ее помощью всевозможных множеств52.+1–1

Анализ логических оснований отношения «быть элементом» показывает, что одно и то же нечто как элемент e отрицает себя как множество M и, наоборот, нечто как множество M отрицает себя как элемент e, из чего следуют отношения e=неM и «Mне есть элемент изM«.53

То, что у утверждения «Mесть элемент изM» нет онтологических оснований, видно из следующего. Любой объект имеет две взаимно противоположные ипостаси – ипостась единого и ипостась многого. В ипостаси единого он есть неструктурированное отдельное, одно и может иметь лишь внешние свойства P (даже «быть множеством» для него есть внешнее свойство). В ипостаси многого, наоборот, данный объект есть структурированное нечто, как состоящее из элементов и поэтому отражающее внутреннюю структуру объекта. Элементы объекта-многого являются тоже объектами, но объектами неструктурированными и имеющими только внешние свойства. Таким образом, элемент – это отдельное, одно, имеющее только внешние свойства P, а множество M – это структурированная сущность, имеющая только внутренние свойства, с помощью которых в ней собраны элементы, имеющие именно эти свойства как их внешние свойства. Поэтому объект какэлемент – это внешняя структура объекта P, а объект как многое и множество есть его внутренняя структура M, причем, полной сущностью объекта Q является объединение (сумма \\/) всех его сущностей – внешней P и внутренней M, то есть Q=P\\/M. А это означает, что P=Q\\M=неM и M=Q\\P=неP, то есть что объект как элемент и объект как множество – это взаимно противоположные сущности (знак «\ – знак разности или вычитания сущностей). Вследствие этого объект ни в какой своей форме не может быть элементом самого себя. Беря объект как элемент, мы тем самым отрицаем и теряем его как множество. Точно так же, если мы берем объект как множество, то мы его отрицаем и теряем как элемент. В первом случае нам не во что его вставить, а во втором – нечего вставить в него.

Таким образом, отношение «быть элементом» не является рефлексивным, то есть ни что не может быть элементом самого себя. Отношение «Mесть элемент изM» является тождественно ложным и как таковое не существует. Соответственно и основанных на этом никаких теоретико-множественных противоречий не существует, в том числе не существуют и парадоксы типа парадокса Рассела. Тождественно истинным является отношение «Mне есть элемент изM«. Любой формальный язык, наряду с определением понятий множество и элемент, должен включать и отношение между ними e=неM.

Заканчивая рассмотрение проблемы единое-многое, мы можем сказать следующее. Строгое следование законам классической логики, как в конечном, так и в бесконечном, не приводит ни к каким противоречиям в нашем познании единого и многого, конечного и бесконечного. Г. Кантор ошибался в том, что вслед за Н. Кузанским считал, что в бесконечном действуют другие логические законы, отличные от законов классической логики.

Нам осталось узнать – что является глубинной сущностью континуума?

До-величинная сущность континуума.

Вполне естественным и законным является вопрос: «а что же следует за непостижимо бесконечно малыми отрезками eref непостижимо больших бесконечных разбиений Xref?». естественным кажется такой ответ, который подразумевает, что «следующим» должно быть разбиение, элементами которого являются «отрезки», ничего, кроме одного-двух сечений, не содержащие. Это, конечно же, не так. Отрезки ei любых больших бесконечных разбиений континуума Xi – это величинные сущности, это сущности, содержащие ei одномерных пространственных отношений. Континуальное сечение – это точка, это только все нульмерные отношения, которые являются иной по отношению к одномерному континууму сущностью.(Ω)(Ω)

Сечение, или точка θ, как мы уже знаем, имеет слитые воедино две стороны-противоположности: π – левую и π+ – правую. Если обозначить операцию отношения пересечения континуумов x иx1 через #, то для точки можно получить математическое соотношение θ=x#x1. кроме этого, если единство сторон π и π+ обозначить через «|», то для точки получим еще одно математическое соотношение – θ=π+. Первое соотношение фиксирует онтологическое происхождение точки, а второе – онтологическую сущность точки. точка не является величинной сущностью. Величинная сущность, или просто длина, – свойство, атрибут континуума. Точка – это до-величинная сущность континуума. Она структурирует континуум. Это – с одной стороны.

С другой стороны, точка соприкасается с частями x и x+, на которые она разбивает континуум. При этом, левая сторона точки становится правой стороной левой части континуума, правая же сторона точки становится левой стороной правой части континуума. Что представляют собой границы частей континуума? В первую очередь – это их стороны, края. Кроме этого очевидно, что сторона π(x)+ левой полупрямой x слита воедино в ней с противоположной себе стороной π(x), принадлежащей этой полупрямой. Ясно, что слитые воедино эти стороны представляют собой точку θ(x)+ и эта точка является крайней точкой левой полупрямой. таким образом, границей полупрямой x являются и левая сторона исходной точки θ, и крайняя точка θ(x)+, правая сторона которой является левой стороной исходной точки θ. Получается, что правая сторона π(x)+ крайней точки θ(x)+ левой полупрямой тождественна левой стороне π точки θ. Факт тождества сторон формально записывается как π(x)+≡π. Таким образом, у нас есть две точки θ(x)+=π(x)|π(x)+ и θ=π+, стороны π(x)+ и π которых тождественны. Поэтому эти две точки могут быть описаны структурно-математически следующим образом:

[π(x)|π(x)+≡p+] = [π(x)+].

Здесь во второй записи тождественные противоположности π(x)+≡π заменены одной противоположностью π. Отсюда непосредственно видно, что данные две точки неразделимы и неотделимы друг от друга. Отделив, например, из этих двух точек правую точку π+, мы оставим левую точку без правой стороны и попросту уничтожим ее. А это и значит как раз, что прямая не состоит из точек.

Совершенно аналогично обстоят дела и с краем правой полупрямой x+. а именно. Правая сторона π+ исходной точки θ является и левой стороной π(x+) самой полупрямой x+, и левой стороной ее крайней точки θ(x+)=π(x+)|π(x+)+. Эти две точки θ и θ(x+) описываются выражением, аналогичным описанию точек θ(x)+ и θ левой полупрямой:

+≡π(x+)|π(x+)+] = [π+|π(x+)+].

Они также неразделимы, как и предыдущие две точки.

Рассмотренные три точки θ(x)+, θ и θ(x+) являются соседними. Сцепляются они между собой сторонами-противоположностями и эти стороны-противоположности являются тождественными, то есть представляют собой одну и ту же противоположность. Объединение соседних точек на онтологическом языке называется онтологической суммой «+». В результате три соседние точки будут иметь следующее структурно-математическое описание:

[θ(x)++θ+θ(x+)] = [π(x)|π(x)+]+[π+]+[π(x+)|π(x+)+] = [π(x)+|π(x+)+].

Разумеется, что крайняя точка θ(x)+ левой полупрямой x имеет соседнюю точку не только справа, но и слева. Так же и крайняя точка θ(x+) правой полупрямой x+ имеет соседнюю точку как слева, так и справа. И смыкаются соседние точки между собой тождественными сторонами. В любой точке ее стороны π и π+ находятся в неразрывном единстве. Одна сторона точки является условием и структурной причиной существования другой, противоположной ее стороны. Сечение прямой в последней своей сущности проходит не между точками, а через точку. Условное «разъединение» прямой x на полупрямые x и x+ проходит по единству «|» противоположностей π и π+ в точке θ=π+. Оно, единство «|», как невидимые нити, даже после «разъединения», продолжает связывать противоположности π и π+ в неразрывное и неделимое целое – в точку θ. Сущность точки заключается в единстве ее сторон-противоположностей, глубинная же сущность континуума состоит в единстве и тождестве противоположностей и эта сущность есть до-величинная сущность континуума.

Стороны π и π+ точки θ – это ее субстратная основа. Единство сторон – реляционная сущность точки, то есть сущность, являющаяся отношением, связывающим субстрат в неделимое целое. Субстрат точки не есть величинная сущность континуума. Не является величинной сущностью и субстрат любого конечного и любого бесконечного количества соседних точек. это значит, что субстрат никакой онтологической суммы точек не является величинной сущностью.

Здесь нам представляется уместным сослаться на лосевскую трактовку категории эйдоса в аспекте преодоления границ сущности при переходе на новую ступень ее знания и понимания54. При таком переходе или выходе за пределы данной сущности от нее остаются эйдос и имя. Мы как раз и собираемся совершить такой акт. Чтобы этот акт имел место, необходимо вести речь не просто о бесконечном числе точек θ, а о непостижимо большом бесконечном числе, то есть о рефлексивно большом бесконечном числе ωref точек и их противоположностей. Этот предел «нагнетания» (Лосев) до-величинной сущности есть эйдос пред-величинной сущности. Он имеет имя Θ и выражается онтологической суммой рефлексивно большого бесконечного числа точек:(Ω)

Θ = θ12+…+θi+…+θω(ref(Ω))= θ×ωref .(Ω)

Точка θ – это единичная мера до-величинной сущности.

Пред-величинная сущность есть до-величинная сущность Кагота. Ей противостоит рефлексивно бесконечно малая единичная величина eref, которая есть пред-до-величинная сущность – отрезок Кагота. Между величинной и до-величинной сущностью находится сущность Кагота, которая есть одновременно и не до-величинная сущность, и не величинная сущность. Величинная и до-величинная сущности связаны между собой соотношениями, которые называются аксиомой прерывного-непрерывного, или гипотезой Кагота:(Ω)

eref=2ω(ref(Ω))×Θ, Θ=eref/2ω(ref(Ω)).(Ω)(Ω)

Величинная и до-величинная сущности – качественно различные сущности. На уровне до-величинной сущности континуум проявляет себя только как упорядоченная сущность точек и их противоположностей. На ней можно говорить только о порядке расположения точек и противоположностей. На разбиениях континуума речь уже может идти и о порядке, и о величине. Современное математическое знание изучало и изучает континуум только на уровне величинной сущности. До-величинная же сущность континуума находится пока вне поля зрения современной науки. То, что в современной математике называют окрестностью точки, является, как и континуум в целом, множеством точек. это множество точек, как мы уже говорили, может быть интерпретировано как множество отрезков ei любого большого бесконечного разбиения континуума Xi и поэтому оно отражает величинную, а не до-величинную сущность континуума.

До-величинная сущность континуума является основой познания глубинной сущности пространственно-временных отношений Бытия55.

Заключение.

Таким образом, мы можем констатировать следующее.

Первое. Мы познали одномерный континуум полностью и непротиворечиво во всех его ипостасях. В этом аспекте удалось решить такие фундаментальные проблемы, как единое-многое, конечное-бесконечное, прерывное-непрерывное.

Второе. Исходными методологическими принципами этого познания были строгое соблюдение законов классической логики и принцип Анаксагора «все – во всем» или «только из всего следует все».

Третье. Финальным знанием континуума является знание ВСЕЙ его числовой сущности. Оно, во-первых, говорит нам о том, что величинная сущность имеет своим пределом рефлексивно большое бесконечное разбиение континуума на ωref=Ref(Ω) рефлексивно бесконечно малых единичных отрезков eref. Во-вторых, оно говорит о том, что пределом Θ до-величинной сущности континуума является онтологическая сумма рефлексивно большого бесконечного числа Ref(Ω) точек θ=π+ и предел этот есть эйдос элемента Θ пред-величинной сущности. В-третьих, оно говорит о том, что предельный величинный элемент eref содержит в себе рефлексивное непостижимо бесконечно большое число 2Ref(Ω) элементов пред-величинной сущности Θ. Наконец, это знание нам говорит о том, что весь континуум x=∞ есть и единство и тождество противоположностей π, и единое и неделимое многообразие R=Ref(Ω)×2Ref(Ω)×Ref(Ω) точек θ, число которых есть континуальное число (ωref)2×2ω(ref(Ω)), равное также отношению x/θ одномерного континуума x=∞ к нульмерному континууму θ (грубо упрощая смысл, отношение x/θ можно интерпретировать как обычное деление x на θ).(Ω)(Ω)(Ω)(Ω)

Полное знание континуума является одномерным универсумом. В онтологии ему соответствуют «мир в целом», «все сущее». Онтологическим основанием известных универсумов56 в конечном счете являются ничто, формально – пустое множество «0», и начальная бесконечность, определяемая как множество всех конечных натуральных чисел, вследствие чего в этих универсумах концентрируются все главные противоречия оснований математического знания. В них из ничто, которое не олицетворяет никакой сущности, выводится все. Этому соответствует методологический принцип «из ничего следует все» и материальная импликация (А=>В)=неА\\/В. вводя онтологические основания в математическое знание в виде континуума в ипостаси единого, представляющего собой все одномерные пространственные отношения, мы тем самым исходим не из ничего, а из всего, то есть мы опираемся на методологический принцип «все – во всем» и на истинную импликацию (А=>В)=А\\/неВ. В результате мы получаем полное и непротиворечивое знание о бесконечности и континууме в виде одномерного универсума57, развернутое описание которого мы дали выше.

Главными результатами полученного нами знания о бесконечном и сущности единого являются. Первое: в бесконечном действуют те же законы и принципы классической логики, что и в конечной области. Второе: исходными началами познания единого-многого, конечного-бесконечного, прерывного-непрерывного являются онтологические основания: 1) одномерный континуум как единое и абсолютная бесконечность ∞ и 2) межконтинуальные отношения сечения и измерения. Третье: бесконечность предстает перед нами в двух ипостасях – в ипостаси единого и в ипостаси многого. Начальной актуальной бесконечностью в ипостаси многого является отношение абсолютной бесконечности единого как всеобщей меры познания к конечной части единого как антропоцентрической мере познания. Четвертое: выявлено шесть ярко выраженных уровней бесконечной сущности единого. На первом уровне единое – это слитые воедино и неразличимые все одномерные пространственные отношения до всякого их знания, познания и структурирования. Вторым уровнем сущности являются все конечные разбиения единого. Здесь мы знаем, с одной стороны, все конечные множества и числа, а с другой стороны, – все абсолютно бесконечные части единого, которые как и континуум ни в каких отношениях нельзя увидеть целиком. Третий уровень – это начальное бесконечное разбиение континуума. На нем мы знаем начальную актуальную бесконечность в виде эйдетического числа X, кардинального числа К и арифметического числа ω, а также начальную конечную величину e. Четвертый уровень сущности – это уровень больших бесконечных разбиений континуума, на котором мы знаем большие бесконечности в виде эйдетических, кардинальных и арифметических чисел Xi, Кi и ωi и бесконечно малые величины континуума ei. На пятом уровне мы знаем малые бесконечные разбиения континуума, репрезентирующие нам, с одной стороны, малые бесконечности Xj, Кj и ωj, а с другой стороны, бесконечные величины ej, которые по отношению к единичным величинам конечных разбиений являются бесконечно малыми величинами. Наконец, шестой уровень – это уровень до-величинной сущности континуума, единичной мерой познания которой является сечение, или точка как нульмерный континуум. До-величинная сущность континуума есть единство и тождество противоположностей.

Уточнены определения конечных и бесконечных сущностей, а также понятий множество и элемент. Конечными являются все числа и множества, которые получаются путем применения арифметических и теоретико-множественных процедур, например, таких, как n+1 и 2М, к начальному числу 1 как мере. Бесконечными являются числа и множества, которые получаются путем применения теоретико-множественных и информационно-субстратных процедур 2М и log2M к начальной актуальной бесконечности. Анализ логических и онтологических оснований понятий множество и элемент показал, что эти понятия являются взаимно обратными, а парадоксы типа парадокса Рассела оказываются на самом деле софизмами и заблуждениями.

Как сущность, так и наше знание этой сущности не имеют разрывов. Качественно различные сущности континуума связаны между собой гипотезой Кагота. Так, конечные и бесконечные разбиения континуума связывает аксиома конечного-бесконечного, а величинную и до-величинную сущности – аксиома прерывного-непрерывного.

Одномерный универсум как полное и непротиворечивое знание континуума является теоретико-множественным фундаментом логических и онтологических моделей Бытия.

Примечания.

1. Гайденко П.П. Время и вечность: парадоксы континуума. // Вопросы философии. 2000, №6. С.115,116. См. также Виленкин Н.Я. В поисках бесконечности. М., 1983 и Петер Р. Игра с бесконечностью. Математика для нематематиков. М., 1968.

2. Гайденко П.П. Николай Кузанский и принцип совпадения противоположностей. // Вопросы философии. 2002, №7. С.132,134-прим.13.

3. Шилов Г.Е. Математический анализ (функции одного переменного). Части 1-2. М., 1969. С.25. См. также Виленкин Н.Я. В поисках бесконечности. М., 1983 и Петер Р. Игра с бесконечностью. Математика для нематематиков. М., 1968.

4. Лекторский В.А. Субъект, объект, познание. М., 1980. С. 256-265.

5. Лосев А.Ф. Философия имени. // В кн. Лосев А.Ф. Бытие – Имя – Космос. М., 1993. С.777-778.

6. Станишевский О.Б. Аритмология (Введение в онтологию): Бесконечность и рефлексивная сущность Бытия. Таганрог, 2003.

7. См. Чефранов Г.В. Бесконечность и интеллект. Ростов-на-Дону, 1971; Бурова И.Н. Парадоксы теории множеств и диалектика. М., 1976; Рузавин Г.И. Философские проблемы оснований математики. М., 1983; Теребилов О.Ф. Логика математического мышления. Л., 1987.

8. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. М., 1977. С.46; Математическая энциклопедия. Т.1. М., 1977. С.457.

9. Так, например, знакочередующийся ряд 1–1+1–1+… в зависимости от группировки его членов может быть равен любому целому числу от 0, ±1, ±2, … до ±∞.

10. В частности, пишут (см., например, Шилов Г.Е. Математический анализ (функции одного переменного). Части 1-2. М., 1969. С.123,129,145; Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. М., 1977. С.197,221) p=limx(n=>∞) и p=limf(x=>∞) и говорят, что и натуральное число n=1,2,… стремится к бесконечности ∞, и непрерывная переменная x стремится к той же бесконечности ∞.

11. Рузавин Г.И. Философские проблемы оснований математики. М., 1983. С.137.

12. Здесь о времени мы говорим в том же смысле, что и Г.И. Рузавин в своей работе «Философские проблемы оснований математики» на с. 137: «когда говорят о стремлении какой-либо величины … к своему пределу, то при этом предполагают, что в процессе неограниченного изменения переменной разность между ее … значениями и пределом с некоторого момента времени становится… меньше любого как угодно малого положительного числа.» Причем, эта цитата не только разъясняет временной контекст процесса стремления какой-либо величины к своему пределу, но и усугубляет противоречивость самого этого процесса, так как при стремлении величин к бесконечности нельзя говорить о сколь угодно малых разностях между величинами и их пределом ∞, поскольку в современном знании все числа и величины по аксиоме Архимеда являются конечными.

13. В частности, ему посвящена работа Гайденко П.П. Время и вечность: парадоксы континуума. // Вопросы философии. 2000, №6.

14. Гайденко П.П. Николай Кузанский и принцип совпадения противоположностей. // Вопросы философии. 2002, №7; Теребилов О.Ф. Логика математического мышления. Л., 1987. С.157.

15. Волков В.А. Элементы теории множеств и развитие понятия числа. Л., 1978. С.57-58.

16. Там же, с. 56.

17. Там же, с. 62.

18. Бронштейн И.Н. Семендяев К.А. Справочник по математике. М., 1980. С. 188.

19. Большая Советская Энциклопедия. Т.20. М., 1975. С.176.

20. Запись (a,b] означает высказывание «точка a не принадлежит множеству (a,b], а точка b принадлежит ему». Говорят, что множество (a,a] не содержит точек (см. Шилов Г.Е. Математический анализ (функции одного переменного). Части 1-2. М., 1969. С. 30.). На самом же деле запись (a,a] означает высказывание «точка a не принадлежит и принадлежит множеству (a,a]». Иначе говоря, полуинтервал (a,a] может быть записан как неa&a, то есть (a,a]=неa&a, что является противоречием.

21. Бурова И.Н. Парадоксы теории множеств и диалектика. М., 1976. Глава1; Рузавин Г.И. Философские проблемы оснований математики. М., 1983. С.96.

22. Вот некоторые из работ, посвященные этой проблеме: Бесконечность и Вселенная. М., 1969; Чефранов. Г.В. Бесконечность и интеллект. Ростов-на-Дону, 1971; Бурова И.Н. Парадоксы теории множеств и диалектика. М., 1976; Рузавин Г.И. Философские проблемы оснований математики. М.,1983; Теребилов О.Ф. Логика математического мышления. Л., 1987; Бесконечность в математике: философские и исторические аспекты. М.,1997.

23. Лосев А.Ф. Философия имени. // В кн. Лосев А.Ф. Бытие – Имя – Космос. М., 1993. С.675-677.

24. Гайденко П.П. Николай Кузанский и принцип совпадения противоположностей. // Вопросы философии. 2002, №7. С.136,140.

25. Лосев А.Ф. Философия имени. // В кн. Лосев А.Ф. Бытие – Имя – Космос. М., 1993. С. 778,786.

26. Там же, с. 786.

27. Горелик Г.Е. Почему наше пространство трехмерно? М., 1982. С.36.

28. Результатом пересечения двух трехмерных континуумов является двухмерный континуум, то есть плоскость. Плоскость имеет две стороны, которые находятся в неразрывном единстве. стороны плоскости – это противоположности, причем, это разные несовпадающие противоположности. Они составляют субстрат трехмерного континуума. Сказанное позволяет яснее высветить сущность пересечения одномерных континуумов, то есть сечения, точки.

29. Станишевский О.Б. Апология бесконечности. // www.filosofia.ru. 2004.

30. Индекс ref(η) – это рефлексивная функция от некоторого невероятно большого конечного числа η (это может быть любое естественнонаучное число, например, число атомов во Вселенной или гугол, равный 10100). Ее описание имеет следующий формальный вид: ref(η)=η+D, D есть элем. изNη, D=nη: η<=η+nη, который читается так: индекс ref(η) предельного множества Nref есть переменное число η, к которому прибавляется приращение D, принимающее все значения от 1 до nη из множества Nη, а когда это приращение принимает последнее, максимальное значение D=nη, то числу η присваивается новое значение η+nη, от которого все повторяется. В детерминированном и дерефлексированном общем виде эту функцию можно изобразить более развернуто и понятно: η+nη+nη+n+nη+n+…+D. Широко и подробно рефлексивные числа описываются в работе Станишевский О.Б. Аритмология (Введение в онтологию): Бесконечность и рефлексивная сущность Бытия. Таганрог, 2003.(η)+n(η+n(η))(η)(η)

31. Станишевский О.Б. Апология бесконечности. // www.filosofia.ru. 2004.

32. Успенский В.А. Что такое нестандартный анализ? М., 1987. С.23.

33. Например, конечный единичный отрезок e содержит бесконечное число ω1/ω=ω1ω–1 бесконечно малых отрезков e1, где ω=ω/ω-1. вместе с этим бесконечный отрезок e-1 первого малого бесконечного разбиения содержит бесконечное число ω=(ω-1)ω(–1)–1 конечных отрезков e, где ω(–1)=ω–1=(ω–2)ω(–2)–1. Как видим, отношение отрезков ep/ep является онтологическим основанием новых бесконечностей ωp=(ωp)ω(p)–1.+1+1

Интересной является и интерпретация начальных бесконечных множеств в современном знании. Но она находится в противоречии с классической логикой. Говорят «начальная бесконечность ω – это множество натуральных чисел» и всем понятно, что это такое. Также понятно и то, что первая бесконечность ω1 – это множество всех действительных чисел и особенно то, что вторая бесконечность ω2=2ω(1) – это все действительные функции действительной переменной. Но количество функций на множестве действительных чисел ω1, как известно, равно (ω1)ω(1) и поэтому получается, что 2ω(1)=(ω1)ω(1), а это противоречит классической логике. Современное же знание считает это истиной. Однако, согласно законам классической логики ω2=2ω(1)≠(ω1)ω(1), и поэтому вторая бесконечность ω2 не есть множество всех действительных функций1)ω(1). В аспекте бесконечных чисел и величин непротиворечивой является следующая его осмысленная интерпретация. Во-первых, это множество ω1-ричных ω1-разрядных чисел. Во-вторых, множество (ω1)ω(1) есть такое бесконечное разбиение континуума на бесконечно малые части e2=∞/(ω1)ω(1), что эти части, с одной стороны, содержат в себе бесконечные количества e2/e3=(ω2)ω(2)–ω бесконечно малых отрезков e3 третьего бесконечного разбиения континуума X3, а с другой стороны, они сами содержатся в бесконечных количествах e2/e2=(ω1)ω(1)–ω(1) в бесконечно малых отрезках e2 второго бесконечного разбиения континуума X2. Другими словами, множество действительных функций (ω1)ω(1) – это новая бесконечность, промежуточная между бесконечностями ω2 и ω3.

34. Оно имеет тот же смысл, что и для конечных множеств Nref. Разница заключается лишь в том, что в нем вместо невероятно большой конечной базы η фигурирует невероятно бесконечно большая база Ω множества КΩ, в качестве которой может быть взято, например, число ωω. В результате описание рефлексивной функции ref(Ω) будет следующим: ref(Ω)=Ω+D, Dесть элем. изКΩ, D=ωΩ: Ω<=Ω+ωΩ. На естественном языке это значит: индекс ref(Ω) множества Кref есть переменное бесконечное число Ω, начальным значением которого является индекс ωω предыдущего множества, плюс приращение D, принимающее все значения от 1 до ωΩ из множества КΩ, а когда это приращение принимает «последнее» значение D=ωΩ, тогда числу Ω присваивается новое значение Ω+ωΩ, с которого все описание повторяется.(Ω)(η)

35. Восходящая иерархия позволяет описать имена ее множеств точно так же, как это было сделано для конечных и больших бесконечных множеств. Предельное множество (К)+ восходящей иерархии – это рефлексивно большое малое бесконечное множество (К)ref, имя-индекс которого есть рефлексивная функция ref(γ) с базой γ=ω(–ω). Она имеет типовое описание: ref(γ)=γ+D, Dесть элем. из(К)γ; если D=ωγ, то числу γ присваивается значение γ+ωγ, где число ωγ – это наибольшее арифметическое число множества (К)γ={1,2,…,ωγ}, после чего все повторяется.(g)

36. Станишевский О.Б. Аритмология (Введение в онтологию): Бесконечность и рефлексивная сущность Бытия. Таганрог, 2003.

37. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. М., 1977. С.89; Математическая энциклопедия. Т.4. М., 1977. С.502.

38. Рытхэу Ю. Числа Какота. Избранное. Т2. Л., 1982.

39. Так, все числа множества К={1,2,…,ω} могут быть записаны на субстрат-множестве К–1={1–1,2–1,…,ω–1} двоичных разрядов в виде их подмножеств, или, что то же самое, в виде обычных двоичных чисел:

1=ω–1…3–12–11–1=0…001;

2=ω–1…3–12–11–1=0…010;

… … …

2ω(–1)–1=ω–1…3–12–11–1=1…111;

2ω(–1)–1…3–12–11–1=0…000..

Здесь подчеркивание разряда r–1 означает и отсутствие соответствующего субстрат-элемента в соответствующем подмножестве, и равенство этого разряда нулю. разумеется, что подмножествамl=xrr–1…21 и l+1=xrr–1…21, отличающимся друг от друга тем, что в первое из них не входит элемент r, но входят все элементы r–1, …, 1, а во второе, наоборот, элемент r входит, а элементы r–1, …, 1 не входят, соответствуют числа x01…1 и x10…0. В современном знании, если количество данных младших разрядов является бесконечным, то эти числа считаются равными. Однако, это в корне не так!, поскольку взаимно однозначно соответствующие им подмножества l и l+1 существенно отличаются друг от друга. Числа l=x01…1 и l+1=x10…0 отличаются друг от друга на единицу младшего, пусть даже и бесконечно младшего, разряда и поэтому они являются соседними, то есть такими, что между ними уже нет никаких чисел из множества К.

40. Бронштейн И.Н. Семендяев К.А. Справочник по математике. М., 1980. С.188.

41. Станишевский О.Б. Аритмология (Введение в онтологию): Бесконечность и рефлексивная сущность Бытия. Таганрог, 2003.

42. В современном знании это «стягивание» в точку «a» записывают как b=lim(a+1/n)n. Здесь не корректным является даже указание стремления натурального числа n к какой-то таинственной бесконечности ∞ – ведь на самом деле в контексте стандартной теории множеств натуральное число может стремиться только к «своей» счетной бесконечности ω. В результате «стягивания» полуинтервала в точку получается противоречие (a,b]=(a,a]=неa&a. В нашем случае «стягивание» имеет следующий строгий вид: b=lim(a+1/r)r=a+1/ω=a+0,0…1=a+D и поэтому (a,b]=(a,a+0,0…01]=a+D. Поскольку числа a и a+0,0…01 являются соседними, то в полуинтервале и остается только число a+D.=>ω=>∞

43. Станишевский О.Б. Апология бесконечности. // www.filosofia.ru. 2004.

44. Например, о знакочередующемся ряде 1–1+1–1+… уже нельзя говорить, что он в зависимости от группировки его членов может быть равен любому целому числу 0, ±1, ±2, … . теперь исходный ряд и все прочие ряды видов (1+1)–1+1–1+1–1+…=+1, (1–1–1–1)+1–1+1–1+…=–2 и т.д., считавшиеся ранее эквивалентными, оказываются разными рядами и мы просто начинаем больше знать о них.

45. Станишевский О.Б. Аритмология (Введение в онтологию): Бесконечность и рефлексивная сущность Бытия. Таганрог, 2003; Станишевский О.Б. Апология бесконечности. // www.filosofia.ru. 2004.

46. См., например, Кон П. Универсальная алгебра. М., 1968. С.44; Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. М., 1970. С.64.

47. Девис М. Прикладной нестандартный анализ. М., 1980. С.37.

48. Бурова И.Н. Парадоксы теории множеств и диалектика. М., 1976.

49. Там же, с. 30-33.

50. Станишевский О.Б. Аритмология (Введение в онтологию): Бесконечность и рефлексивная сущность Бытия. Таганрог, 2003; Станишевский О.Б. Апология бесконечности II. // www.filosofia.ru. 2004.

51. Манин Ю.И. Доказуемое и недоказуемое. М., 1979. С.104.

52. Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Введение в математическую логику. М., 1982. С.19-20.

53. То, что у отношения «Mесть элем. Из M» нет логических оснований, показано И.Н. Буровой в работе «Парадоксы теории множеств и диалектика». «Подобное «смешение» субъекта с предикатом формальной логикой ни в коем случае не предполагалось» – говорит она на с. 31. это смешение и есть нарушение законов классической логики. Кроме этого, анализируя схему свертывания M={e, p(e)}, задающую любое множество M с помощью предиката p(e), мы в дополнение ко всему этому должны сказать следующее. Первое: множество – это совокупность или список элементов, удовлетворяющих заданному свойству p. Поэтому, прежде чем получить множество M, вначале определяют (его) элементы e и только потом говорят, что такие-то и такие-то элементы составляют множество M. В частности, для предиката «множество всех множеств» вначале все множества m объявляются элементами e и только потом все эти элементы объединяются в новоемножество M. Существенно здесь то, что элемент e и множество m являются противоположными понятиями, а именно: e=неm и m=неe. Элемент – это и одно, и отдельное, и единое, это внутренне не структурированная сущность. Множество – это многое, оно есть структурированное нечто. Поэтому когда говорят, что противоречием является то, что множество всех множеств Mне содержит в себе себя в качестве элемента, то этим самым нарушают все, что только можно нарушить в классической логике, в том числе и все сказанное по этому поводу Буровой, поскольку в множество M должен входить новый элемент e1=неM, которого до образования множества M еще никак не было. Включение же нового элемента e1 в множество M производит над ним соответствующее преобразование, давая другое новое множество M1={e1,e; p(e)}, что не является противоречием. Надо сказать, что само высказывание «множество всех множеств» лингвистически некорректно. Оно есть софизм, одной из ловушек которого является то, что вместо элементов говорят о множествах. Более тщательное и неторопливое, по сравнению с даваемым Буровой на с.30, завершение анализа истинного положения вещей в данном высказывании является следующим. Получив множество M={e; p(e)} элементов e, репрезентирующих нам все множества m через отношение e=неm, мы должны дальше согласно высказыванию «множество всех множеств» и придерживаясь законов классической логики образовать из множества Mновый элемент e1=неM. Поскольку множество M как некий объект является единственным, то, беря его как элемент e1=неM, мы теряем его как множество M. Мы не удваиваем число экземпляров множества M с тем, чтобы один его экземпляр использовать как элемент e1=неM, а другой оставить неизменным для того, чтобы в него включить новый элемент e1. Поэтому у нас остается только совокупность элементов e плюс элемент e1 (совсем строго, образование нового элемента e1 ассимилирует в себя все элементы e, исключая таким образом их из заданного контекста. Поэтому на самом деле остается только один элемент e1). Теперь, без никаких противоречий, мы оформляем новое «множество всех множеств» M1={e1,e; p(e)}. То, что процесс образования все новых и новых множеств M2, M3, … является бесконечным, – это уже другой вопрос. Из всего этого мы выводим только одно – множество не может быть элементом самого себя.

54. Лосев А.Ф. Античный космос и современная наука. // В кн. Лосев А. Ф. Бытие – Имя – Космос. М., 1993. С.278-282.

55. Станишевский О.Б. Аритмология (Введение в онтологию): Бесконечность и рефлексивная сущность Бытия. Таганрог, 2003.

56. Манин Ю.И. Доказуемое и недоказуемое. М., 1979. С.101,105; Кон П. Универсальная алгебра. М., 1968. С.18; Девис М. Прикладной нестандартный анализ. М., 1980. С.37,41.

57. В сжатом виде одномерный универсум имеет следующее вербально-формальное описание.

Есть единое – одномерный континуум x как слитые воедино и неразличимые все одномерные пространственные отношения до всякого их знания, познания и структурирования.

Началом познания является континуум как отдельное, одно X0={x}={E=∞}. Его бесконечность ∞ – это абсолютная бесконечность и всеобщая мера его познания (Николай Кузанский). Его эйдосом является бесконечная в обе стороны прямая. Он есть также эйдетическое число (Лосев) 1.

Дальнейшее познание осуществляется с помощью двух ипостасей межконтинуального отношения – измерения и сечения. Измерение дает начальное кардинальное число (Кантор) 1, или множество N0={1=x/E=∞/∞}, содержащее первое арифметическое число (Лосев) 1.

Сечение θ=x#x1 как точка и нульмерный континуум порождает многое в виде первого разбиения континуума X1={x,x+}={E11,E12}=2 на полубесконечные части E11=x и E12=x+ единичной длины E1=∞/2. Отношение измерения порождает второе арифметическое число 2=∞/E1 и первое множество N1={1,2}=2. Разбиения континуума как эйдосы есть также эйдетические числа, а множества – кардинальные числа. Множества-кардиналы – это только такие множества, которые находятся между собой в теоретико-множественном отношении 2M.

Дальше следует неограниченная иерархия конечных множеств арифметических чисел Nn=2N(n–1) ={1,2,…,nn=2n(n–1)} и конечных разбиений континуума Xn=x/Nn={En,En, …, En,n; En=∞/nn}. Индекс n=1,2,…,η,ref(η) есть имя множественных сущностей Nn и Xn. Предельные множественные сущности N и X есть рефлексивно большие конечные сущности Nref и Xref.(η)(η)(n)21

Конечные разбиения Xn – это конечное знание континуума, которое таково, что мы знаем конечные числа, но сам континуум знаем так, что на нем можно видеть не более одного сечения и нельзя полностью видеть никакой единичный отрезок En никакого конечного разбиения ни при каком уменьшении масштаба.

Производя на континууме два сечения θ1, θ2, получаем конечный единичный отрезок e=[θ12]. Вместе с всеобщей мерой ∞ он становится мерой познания бесконечной множественной сущности континуума. Отношение бесконечного единого x к конечному единому e порождает начальную актуальную бесконечность в виде разбиения континуума X=x/e={e01,e02,…,e0ω; ω=∞/e} и соответствующего ему множества арифметических чисел К={1,2,…,ω=∞/e}.

Теоретико-множественное отношение «множество всех подмножеств» порождает неограниченную трансфинитную иерархию больших бесконечных множеств арифметических чисел Кi={1,2,…,ωi=2ω(i–1)} и соответствующих им больших бесконечных разбиений континуума на бесконечно малые отрезки: Xi={ei,ei, …, ei}. Индекс i=1,2,…,Ω=ωω,ref(Ω) – это имя бесконечных сущностей Кi, Xi. Предельные большие бесконечные множественности К+ и X+ – это рефлексивно большие бесконечные сущности Кref и Xref. Бесконечно малые отрезки ei любых больших бесконечных разбиений Xi – это величинные сущности.(Ω)(Ω)ω(i)21

Информационно-субстратные отношения log2M, обратные теоретико-множественному отношению 2M, порождают неограниченную нисходящую трансфинитную иерархию малых бесконечных субстрат-множеств Кj= =log2К–(j–1)={1,2,…,ωj=log2ω–(j–1)} и соответствующих им разбиений континуума на бесконечно большие отрезки ej: Xj ={ej1,ej2,…,ej,ω(–j); ej=∞/ωj}. Индекс-имя j равен 1, 2, …, γ=ω(–ω), ref(γ). Предельно малые бесконечности К и X – это рефлексивно малые бесконечные множественные сущности Кref(γ) и Xref(γ). Рефлексивную функцию ref(γ) определяют малые бесконечные множества, представленные в виде восходящей иерархии (К)j=К((–),(j))=2К((–),(j–1)) ={1,2,…,ωj=2ω(j–1)} с тем же набором индексов, что и у множеств нисходящей иерархии. Предельным множеством (К)ref восходящей иерархии является начальное бесконечное множество К, а начальным множеством (К) – предельно малое бесконечное множество К.(γ)

Аксиома конечного-бесконечного, или гипотеза Кагота, устанавливает связь между конечными множествами и разбиениями Nref и Xref, с одной стороны, и с бесконечными множествами и разбиениями Кref(γ) и Xref(γ), с другой стороны,: Кref(γ)=2N(ref(η)), Xref(γ)=2X(ref(η)) и Nref=log2Кref(γ), Xref=log2Xref(γ).(η)(η)(η)(η)

Точка θ как единство противоположностей π+ есть онтологическое основание и единичная мера до-величинной сущности континуума. До-величинная сущность континуума есть онтологическая сумма «+» точек как единство «|» и тождество «≡» противоположностей:

Θ = θ1+…+θiii+…+θRef  = θ×Ref =+1-1

= π1+1≡…≡πi+i≡πi+i≡πi+i≡…≡πRef+Ref =+1+1–1-1

= π|π1|…|πiii|…|πRefRef, Refref.(Ω)–1+1–1

Аксиома прерывного-непрерывного, или гипотеза Кагота, связывает до-величинную сущность континуума Θ с его величинной сущностью eref: eref=2Ref×Θ, Θ=eref/2Ref.(Ω)(Ω)(Ω)

Финальным знанием континуума является описание ВСЕЙ числовой сущности континуума: R=∞/θ=Ref×2Ref×Ref={1,2,3,…..,(ωref)2×2Ref}.(Ω)

Обсудить на форуме

ЧИТАТЬ ПО ТЕМЕ:

Нет комментариев

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>